Pierre de Fermat, né dans la première décennie du XVIIesiècle, à Beaumont-de-Lomagne, près de Montauban, et mort le 12 janvier 1665 à Castres, est un juriste et mathématicien français, surnommé « le prince des amateurs ».
Biographie
Son père, Dominique Fermat, était un marchand aisé, bourgeois et second
Consul de la ville comme marchand de cuir et autres denrées. On ne sait pas où il a effectué ses études primaires. Par la suite, il fait des études à Toulouse et de
Droit à Orléans. Dès
1631, il achète une charge de conseiller du roi à la Chambre des Requêtes du Parlement de Toulouse. Il épouse cette année-là Louise de Long avec qui il aura cinq enfants. Avec fidélité et assurance dans cet emploi de magistrat, il remplit sa tâche et grimpe rapidement les échelons vers des fonctions à la
Chambre Criminelle et la
Grand’ Chambre; il obtiendra également d'être membre de la chambre de l'édit de
Castres (
1648).
Il fut membre de l'Académie des Sciences Inscriptions et Belles-Lettres de Toulouse.
Ses talents de mathématicien se sont exercés à part de son travail de magistrat puisque les grands écrits que l'on ait retrouvés de lui sont des annotations dans des textes renommés tels lArithmetica de Diophante et une partie de sa correspondance avec les scientifiques du XVIIe siècle. Sa formation en tant que mathématicien n'est que peu connue : il semble qu'il a étudié les oeuvres de François Viète qu'il trouve dans la bibliothèque d'un ami, Étienne d'Espagnet.
À ses amis mathématiciens (Descartes, Pascal, Roberval, Torricelli, Huygens, Mersenne), il demande de démontrer par la preuve les théories qu'il avance ce qui ravive l'ire des autres envers lui. Il se dispute en particulier avec Descartes en 1637. En 1652, la fameuse peste qui ravage la France s'attaquera à lui mais il y fera face et la combattra. Ce n'est qu'en 1670 que son théorème est exposé au public. Il commente, en l'étendant, Diophante, et rétablit avec une admirable sagacité plusieurs ouvrages perdus d'Apollonius (De Locis planis, des lieux plans, en 1636) et d'Euclide. Il est en même temps un habile helléniste et un profond Jurisconsulte. Ce savant cachait ses méthodes, dont quelques-unes ont été perdues avec lui.
Il s'est aussi intéressé aux sciences physiques ; on lui doit notamment le Principe de Fermat en optique.
Après sa mort
Il ne reste après son décès qu'une importante correspondance dispersée dans toute l'Europe.
Le fils de Pierre de Fermat publie, en 1670, une édition de l'Arithmetica de Diophante, annoté par son père, puis en 1679 une série d'articles et une sélection de sa correspondance sous le nom de Varia opera mathematica.
En 1839, Guglielmo Libri tente de soustraire un certain nombre de manuscrits, dont une partie seulement sera récupérée.
Charles Henry et Paul Tannery publient, au début du XXe siècle, les OEuvres de Fermat en quatre volumes ; un supplément sera ajouté par C. de Waard en (1922).
Contributions
Il partage avec Descartes la gloire d'avoir appliqué l'algèbre à la géométrie. Il imagina pour la solution des problèmes, une méthode, dite de maximis et minimis, qui le fait regarder comme le premier inventeur du calcul différentiel dont il est un précurseur : il est le premier à utiliser la formule (sinon le concept) du
nombre dérivé.
Il pose en même temps que Blaise Pascal les bases du calcul des probabilités. Mais sa contribution majeure concerne la Théorie des nombres et les équations diophantiennes. Auteur de plusieurs théorèmes ou conjectures dans ce domaine, il est au coeur de la « théorie moderne des nombres ».
Il est très connu pour deux « théorèmes » :
- le « petit théorème de Fermat » ;
- le « dernier théorème de Fermat » ; ce dernier n'était qu'une Conjecture et l'est resté durant près de trois siècles de recherches fiévreuses.
Petit théorème de Fermat
Si
p est un
Nombre premier et
a un
Entier naturel non divisible par
p, alors
a p - 1 ≡ 1 (mod p) .
Voir aussi : Théorème d'Euler, dont ce théorème est un cas particulier.
Théorème des deux carrés de Fermat
Article détaillé : .Ce théorème énonce que pour un nombre premier impair soit la somme de deux carrés, il faut et il suffit qu'il soit congru à 1 modulo 4.
Théorème de Fermat sur les nombres polygonaux
Tout entier s'écrit :
- comme somme d'au plus 3 nombres triangulaires
- comme somme d'au plus 4 nombres carrés
- comme somme d'au plus 5 nombres pentagonaux
- etc.
- nombres triangulaires : 1;3( = 1+2);6( = 1+2+3);10( = 1+2+3+4)...! : le n-ième nombre triangulaire est égal à la somme des n premiers entiers naturels non nuls ;
- nombres carrés : 1;4( = 1+3);9( = 1+3+5);16( = 1+3+5+7)... ! : le n-ième nombre carré est égal à la somme des n premiers entiers naturels impairs)
- nombres pentagonaux : 1;5( = 1+4);12( = 1+4+7);22( = 1+4+7+10)... ! : le n-ième nombre pentagonal est égal à la somme des n premiers entiers naturels congrus à 1 modulo 3 ;
- nombres polygonaux d'ordre m : 1 ; 1+(m-1) ; 1+(m-1)+(2m-3) ; 1+(m-1)+(2m-3)+(3m-5) ; ... ! : le n-ième nombre polygonal d'ordre m est égal à la somme des n premiers entiers naturels congrus à 1 modulo m-2.
Ce théorème a été énoncé par Fermat, démontré dans le cas des nombres carrés par Jacobi et, indépendamment par Joseph-Louis Lagrange au
XVIIIe siècle (Ce dernier se servant de résultats partiels obtenus par
Euler).
Gauss résolut le cas des nombres triangulaires en
1796. Une preuve complète a été proposée par Cauchy en
1813.
Grand théorème de Fermat (ou dernier théorème de Fermat)
Il n'existe pas d'ensemble d'entiers strictement positifs x !, y !, z ! vérifiant l'équation x n + y n = z n ! lorsque n est un entier tel que n > 2 !.
Ce théorème fut démontré par le mathématicien anglais Andrew Wiles de l'Université de Princeton, avec l'aide de Richard Taylor. Après une première présentation en Juin 1993, puis la découverte d'une erreur et un an de travaux supplémentaires, la preuve fut finalement publiée en 1995 dans Annals of Mathematics.
Pierre de Fermat lui-même annotait en marge de son exemplaire des Arithmétiques qu’il en avait découvert une démonstration vraiment remarquable, mais manquait de place pour la donner à cet endroit:"j'ai découvert une preuve réellement remarquable que cette marge trop étroite ne me permet pas de détailler".
La démonstration évoquée par Pierre de Fermat est soit fausse, soit inconnue à ce jour, car la démonstration réalisée par Andrew Wiles utilise des outils mathématiques dont M. de Fermat ne pouvait vraisemblablement disposer compte tenu des connaissances de son époque.
Méthode de la descente infinie
Fermat est l'inventeur d'une méthode de démonstration, la descente infinie : Supposons qu'une proposition
P dépendant d'un rang n (> 0) vérifie la propriété : « Si
P est vraie à un rang quelconque
r, elle l'est à un certain autre rang
q strictement inférieur Ã
r ». Alors on peut conclure que
P est fausse pour tout rang. En effet, pour tout
r, l'application récurrente de la propriété permet de construire une chaîne infinie de rangs décroissants
r >
q >...>... Or les rangs étant positifs, la longueur de la chaîne ne peut pas être supérieure à
r.
La descente infinie peut être utilisée pour démontrer le cas particulier n = 4 du dernier théorème de Fermat.
Principe de Fermat (optique)
Le trajet parcouru par la lumière entre deux points est toujours celui qui minimise le temps de parcours. Voir l'article
Principe de FermatRéférences
..
Bibliographie
- Émile Brassinne, Précis des oeuvres mathématiques , Toulouse, 1853.
- Paul Tannery, Charles Henry et C. de Waard,OEuvres de P. Fermat, Gauthier-Villars et cie, Paris,1891-1922, 5 vol. 23×29 cm
- Paul Féron, Pierre de Fermat : un génie européen (avec le concours de Jacques Arlet, Henri Gilles, Georges Passerat ), Toulouse : Presses de l'Université des sciences sociales de Toulouse et Éditions toulousaines de l'Ingénieur, 2002, 224 p. (ISBN 2-909628-83-3)
- Simon Singh, Le dernier théorème de Fermat (ISBN 2-7096-1854-0)
- André Dupuy, Pierre Fermat
- Giulio Giorello et Corrado Sinigaglia(trad. A. Masé, G. Idabouk et al.), Pierre Fermat(Pierre de Fermat, I sogni di un magistrato alle origini della matematica moderna), Pour la science, coll. « Dossiers Pour la science/ les génies de la science »,août-octobre 2007, n°32, magazine, 102 p.(ISBN 2-84245-091-1)(ISSN 1298-6879)
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